內射對象與投射對象

在同調代數中，內射對象與投射對象是內射模與投射模在阿貝爾範疇中的推廣，二者的定義相對偶。以下固定一個阿貝爾範疇 ${\mathcal {C}}$ 。

• 若對象 $P$ 使得函子 $\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(P,-)$ 為正合函子，則稱 $P$ 為投射對象。
• 若對象 $I$ 使得函子 $\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(-,I)$ 為正合函子，則稱 $I$ 為內射對象。

若對每個對象 $X$ 都存在投射對象 $P$ 及滿射 $P\to X$，則稱 ${\mathcal {C}}$ 有充足投射元。若對每個對象 $X$ 都存在內射對象 $I$ 及單射 $X\to I$，則稱 ${\mathcal {C}}$ 有充足內射元。對於有充足投射元（或內射元）的阿貝爾範疇，可以考慮對象的投射分解（或內射分解）。