广义正交群

数学上，广义正交群或称伪正交群、不定正交群O(p,q)是所有保持n=p+q维实向量空间上的符号为 (p,q)的非退化对称双线性形式的线性变换组成的李群。这个群的维数是n(n−1)/2。

广义特殊正交群SO(p,q)是O(p,q)中所有行列式为1的元素构成的子群。

度量的符号（p、q分别为正负特征值的个数）在同构的意义下决定该群；交换p和q相当于度量改变惯性指数，所以给出同样的群。如果p或q等于0，那么同构于普通正交群O(n)。我们假设下文中p和q均是正整数。

群O(p,q)定义在实向量空间上。对于複空间，所有群O(p,q; C)都同构于通常正交群O(p + q; C)，因为複共轭变换 $z_{j}\mapsto iz_{j}$ 能改变二次型的惯性指数。

矩阵定义

和经典正交群O(n)一样，O(p,q)能表示为矩阵群。R^p,q上由对角矩阵给出标准内积：

\eta =\mathrm {diag} (\underbrace {1,\cdots ,1} _{p},\underbrace {-1,\cdots ,-1} _{q}).\,

作为二次型， $Q(x_{1},\dots ,x_{n})=x_{1}^{2}+\cdots +x_{p}^{2}-x_{p+1}^{2}-\cdots -x_{p+q}^{2}.\,$

群O(p,q)是由n×n矩阵M（这里n = p+q）使得 $M^{T}\eta M=\eta$ 。，或作为双线性形式 $Q(Mv)=Q(v)$ 组成的群。

这里M^T表示矩阵M的转秩。容易验证所有这样的矩阵构成一个群。M的逆满足

M^{-1}=\eta ^{-1}M^{T}\eta .\,

我们得到一个同构群。事实上将η换成任意p个正特征值q个负特征值的对称矩阵（这样的矩阵必是非奇异的），等价的，任何符号为 (p,q)的二次型。对角化这个矩阵给出此群共轭于标准群O(p,q)。

拓扑

O(p,q)和SO(p,q)都不是连通的，分别有4个和2个分支。 $\pi _{0}(O(p,q))\cong C_{2}\times C_{2}$ 是克莱因四元群，每个分支保持或改变p维正定或q维负定子空间的定向。特殊正交群有分支 $\pi _{0}(SO(p,q))=\{(1,1),(-1,-1)\}$ ，同时保持或同时改变两个定向。

O(p,q)的单位分支常记作SO⁺(p,q)，能和SO(p,q)中同时保持两个定向的元素的集合等价起来。

群O(p,q)也不是紧，但包含紧子群O(p)和O(q)，分别作用在两个确定子空间上。事实上，O(p)×O(q)是O(p,q)的极大紧子群。而 $S(O(p)\times O(q))$ 是SO(p,q)的极大紧子群。同样，SO(p)×SO(q)是SO⁺(p, q)的极大紧子群。从而在同论的意义上来说，这些群是（特殊）正交群的积，这样代数拓扑不变量都可以计算出来。

特别的，SO⁺(p, q)的基本群是分支基本群的乘积， $\pi _{1}({\mbox{SO}}^{+}(p,q))=\pi _{1}({\mbox{SO}}(p))\times \pi _{1}({\mbox{SO}}(q))\,\!$ ，由下表给出：

$\pi _{1}({\mbox{SO}}^{+}(p,q))$	$p=1$	$p=2$	$p\geq 3$
$q=1$	{1}	$\mathbf {Z}$	$\mathbf {Z} _{2}$
$q=2$	$\mathbf {Z}$	$\mathbf {Z} \times \mathbf {Z}$	$\mathbf {Z} \times \mathbf {Z} _{2}$
$q\geq 3$	$\mathbf {Z} _{2}$	$\mathbf {Z} _{2}\times \mathbf {Z}$	$\mathbf {Z} _{2}\times \mathbf {Z} _{2}$

参考文献

V. L. Popov, Orthogonal group, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
Anthony Knapp, Lie Groups Beyond an Introduction, Second Edition, Progress in Mathematics, vol. 140, Birkhäuser, Boston, 2002. ISBN 0-8176-4259-5. (372页有不定正交群的描述)

Joseph A. Wolf, Spaces of constant curvature, (1967) 335页。

参见