完备空间

完备空间，或称完备度量空间（英語：Complete metric space）是具有下述性质的一种度量空间：空间中的任何柯西序列都收敛在该空间之内。 ^[1]^[2]

例子

有理数空间不是完备的，因为 ${\sqrt {2}}$ 的有限位小数表示是一个柯西序列，但是其极限 ${\sqrt {2}}$ 不在有理数空间内。
实数空间是完备的
开区间(0,1)不是完备的。序列(1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ...)是柯西序列但其不收敛於(0, 1)中任何的点。
令S为任一集合，S^N为S中的所有序列。如下定义S^N上任意两个序列(x_n)和(y_n)的距离：如果存在某个最小的N，使 $x_{N}\neq y_{N}$ ，那么定义距离为1/N；否则（所有的对应项都相等）距离为0。按此方式定义的度量空间是完备的。该空间同胚于离散空间S的可数个副本的积。

完备化

定义

对任一度量空间M，我们可以构造相应的完备度量空间M' （或者表示为 ${\bar {M}}$ ），使得原度量空间成为新的完备度量空间的稠密子空间。M' 具备以下普适性质：若N为任一完备度量空间，f为任一从M到N的一致连续函数，则存在唯一的从M' 到N的一致连续函数f' 使得该函数为f的扩展。新构造的完备度量空间M' 在等距同构意义下由该性质所唯一决定，称为M的完备化空间。

以上定义是基于M是M'的稠密子空间的概念。我们还可以将完备化空间定义为包含M的最小完备度量空间。可以证明，这样定义的完备化空间存在，唯一（在等距同构意义下），且与上述定义等价。

对於交换环及於其上的模，同样可以定义相对於一个理想的完备性及完备化。详见条目完备化 (环论)。

构造

类似于从有理数域出发定义无理数的方法，我们可以通过柯西序列给原空间添加元素使其完备。

对M中的任意两个柯西序列x=(x_n)和y=(y_n)，我们可以定义它们间的距离： d(x,y) = lim_n d(x_n,y_n)（实数域完备所以该极限存在）。按此方式定义的度量还只是伪度量，这是因为不同的柯西序列均可收敛到0。但我们可以象很多情况中所做的一样（比如从L^p到 ${\mathcal {L}}^{p}$ ），将新的度量空间定义为所有柯西序列的集合上的等价类的集合，其中等价类是基于距离为0的关系（易于验证该关系是等价关系）。这样，令ξ_x = {y是M上的柯西序列： $y_{n}\rightarrow x$ }，M' ={ξ_x：x ∈ M}，原空间M就以x $\rightarrow$ ξ_x的映射方式嵌入到新的完备度量空间M' 中。易于验证，M等距同构于M' 的稠密子空间。

康托法构造实数是该完备化方法的一个特例：实数域是有理数域作为以通常的差的绝对值为距离的度量空间的完备化空间。

性质

康托爾的實數建構是上述構造的特例；此時實數集可表為有理數集對絕對值的完備化。倘若在有理數集上另取其它的絕對值，得到的完備空間則為p進數。

若將上述流程施於賦範向量空間，可得到一個巴拿赫空間，原空間是其中的稠密子空間。若施於一個內積空間，得到的則是希爾伯特空間，原空間依然是其稠密子空間。

参见

数学分析术语

參考資料

^ 张恭庆; 林源渠. 泛函分析讲义. 北京大学出版社. 1987. ISBN 978-7-301-00489-0.
^ Sutherland, Wilson A. Introduction to Metric and Topological Spaces. 1975. ISBN 978-0-19-853161-6.

Tsolomitis, Yuli Eidelman ; Vitali Milman ; Antonis. Functional analysis an introduction. Providence, RI: American Mathematical Soc. 2004. ISBN 9780821836460.

[张恭庆，林源渠-1] 张恭庆; 林源渠. 泛函分析讲义. 北京大学出版社. 1987. ISBN 978-7-301-00489-0.

[2] Sutherland, Wilson A. Introduction to Metric and Topological Spaces. 1975. ISBN 978-0-19-853161-6.

[1]

[2]

完备空间

例子

相关定理

完备化

定义

构造

性质

相关概念

参见

參考資料