估计理论

估计理论是统计学和信号处理中的一个分支，主要是通过测量或经验数据来估计概率分布参数的数值。这些参数描述了实质情况或实际对象，它们能够回答估计函数提出的问题。

例如，估计投票人总体中，给特定候选人投票的人的比例。这个比例是一个不可观测的参数，因为投票人总体很大；估计值建立在投票者的一个小的随机采样上。

又如，雷达的目的是物体（飞机、船等）的定位。这种定位是通过分析收到的回声（回波）来实现的，定位提出的问题是“飞机在哪里？”为了回答这个问题，必须估计飞机到雷达之间的距离。如果雷达的绝对位置是已知的，那么飞机的绝对位置也是可以确定的。

在估计理论中，通常假定信息隐藏在包含雜訊的信号中。噪声增加了不确定性，如果没有不确定性，那么也就没有必要估计了。

使用估计理论的领域

有非常多的领域使用参数估计理论。这些领域包括（当然不局限于以下列出的领域）:

• 信号处理
  • X射線斷層成像
  • 脑电图
  • 心电图
  • 核磁共振
  • 医学超声波扫描术
  • 雷达、声纳、地震學——物件的定位
  • 噪声方差
  • 参数化（例如周期图和相关图谱）分析
  • 非参数化（例如MUSIC、Root-MUSIC和ESPRIT）谱分析
  • 维纳滤波
  • 粒子滤波器
• 临床试验
• 民意调查
• 质量控制
• 通讯
  • 信道参数
  • DC增益（请看下边的例子）
• 控制理论
  • 卡尔曼滤波
  • 随时间改变的执行器（英文：Actuator）
• 网络入侵侦查系统

测量参数包含噪声或者其他不确定性。通过统计概率，可以求得最优化的解，用来从数据中提取尽可能多的信息。

估计过程

估计理论的全部目的都是获取一个估计函数，最好是一个可以实现的估计函数。估计函数输入测量数据，输出相应参数的估计。

我们通常希望估计函数能最优，一个最优的估计意味着所有的信息都被提取出来了；如果还有信息没有提取出来，那就意味着它不是最优的。

一般来说，求估计函数需要三步：

• 为了实现一个预测单个或者多个参数的所期望的估计器，首先需要确定系统的模型。这个模型需要将需要建模的过程以及不确定性和和噪声融合到一起，这个模型将描述参数应用领域的物理场景。
• 在确定模型之后，需要确定估计器的限制条件。这些限制条件可以通过如Cramér-Rao不等式这样的方法找到。
• 下一步，需要开发一个估计器或者应用一个已知的对于模型有效的估计器。这个估计器需要根据限制条件进行测试以确定它是否是最优估计器，如果是的话，它就是最好的估计器。
• 最后，在估计器上运行试验或者仿真以测试性能。

当实现一个估计器之后，实际的数据有可能证明推导出估计器的模型是不正确的，这样的话就需要重复上面的过程重新寻找估计器。不能实现的估计器需要抛弃，然后开始一个新的过程。总的来说，估计器根据实际测量的数据预测物理模型的参数。

基础

对于给定模型，估计器需要若干统计 "成分"才能实现。第一，统计样本从长度为 N 的随机向量（Random Variable，RV）中采样获得，观测值构成向量：

$\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x[0]\\x[1]\\\vdots \\x[N-1]\end{bmatrix}}.$

第二，有 M 个参数：

${\boldsymbol {\theta }}={\begin{bmatrix}\theta _{1}\\\theta _{2}\\\vdots \\\theta _{M}\end{bmatrix}},$

它们的值需要被估计。第三，用于生成连续数据的概率密度函数（Probability density function，PDF）或离散数据的概率质量函数（Probability mass function，PMF）以参数值为条件（这些概率函数潜在存在），即条件概率为：

$p(\mathbf {x} |{\boldsymbol {\theta }}).\,$

参数自身可能也存在概率分布（如贝叶斯统计），此时就需要定义贝叶斯概率：

$\pi ({\boldsymbol {\theta }}).\,$

模型形成后，目标是估计参数，估计的参数通常表示为 ${\hat {\boldsymbol {\theta }}}$，其中 ${\hat {\cdot }}$ 表示估计值。

常用的估计器包括最小均方误差（Minimum mean squared error，MMSE）估计器，它利用了估计参数和参数实际值之间的误差：

$\mathbf {e} ={\hat {\boldsymbol {\theta }}}-{\boldsymbol {\theta }}$

作为优化的基础。该误差项平方的期望对MMSE估计器来说是最小的。

估计函数（估计子）

以下是一些相关的估计函数以及相关的主题

• 最大似然估計（Maximum likelihood estimation，簡稱MLE）
• 贝叶斯估计器（Bayes estimator）
• 矩估計（Method of moments estimators，簡稱MME）
• Cramér-Rao界
• 最小二乘法（Least squares）
• 最小均方差（Minimum mean squared error，简称MMSE）
• 最大后验概率（Maximum a posteriori probability，簡稱MAP）
• 最小方差无偏估计（Minimum variance unbiased estimator，简称MVUE）
• 非线性系统识别（Nonlinear system identification）
• 最佳线性非偏估计（BLUE）
• 非偏估计，见偏差 (统计学)。
• 粒子滤波器（Particle filter）
• 马尔可夫链蒙特卡洛（Markov chain Monte Carlo，简称MCMC）
• 卡尔曼滤波
• 维纳滤波

例子：高斯白噪声中的直流增益

考虑由$N$个独立采样点构成的离散信号$x[n]$，它由常数$A$和零均值、方差为$\sigma ^{2}$的加性高斯白噪声$w[n]$（即${\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})$）构成。方差已知，未知参数为$A$。

信号的模型为：

$x[n]=A+w[n]\quad n=0,1,\dots ,N-1$

参数$A$的两个可能的估计器是：

• ${\hat {A}}_{1}=x[0]$
• ${\hat {A}}_{2}={\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}x[n]$，即采样平均（Sample mean）

通过计算两个估计器的期望可以发现，它们的均值均为$A$：

$\mathrm {E} \left[{\hat {A}}_{1}\right]=\mathrm {E} \left[x[0]\right]=A$

和

$\mathrm {E} \left[{\hat {A}}_{2}\right]=\mathrm {E} \left[{\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}x[n]\right]={\frac {1}{N}}\left[\sum _{n=0}^{N-1}\mathrm {E} \left[x[n]\right]\right]={\frac {1}{N}}\left[NA\right]=A$

两个估计器的均值没有差异，然而它们的方差不同：

$\mathrm {var} \left({\hat {A}}_{1}\right)=\mathrm {var} \left(x[0]\right)=\sigma ^{2}$

和

$\mathrm {var} \left({\hat {A}}_{2}\right)=\mathrm {var} \left({\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}x[n]\right)={\frac {1}{N^{2}}}\left[\sum _{n=0}^{N-1}\mathrm {var} (x[n])\right]={\frac {1}{N^{2}}}\left[N\sigma ^{2}\right]={\frac {\sigma ^{2}}{N}}$

当$N>1$时，$\mathrm {var} \left({\hat {A}}_{1}\right)<\mathrm {var} \left({\hat {A}}_{2}\right)$，所以似乎采样平均${\hat {A}}_{2}$是一个更好的估计器。

最大似然估计

使用最大似然估计继续上面的例子，噪声在采样点$w[n]$上的概率密度函数（pdf）为：

$p(w[n])={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}w[n]^{2}\right)$

此时$x[n]$的概率为（$x[n]$服从分布${\mathcal {N}}(A,\sigma ^{2})$）：

$p(x[n];A)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left(-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}(x[n]-A)^{2}\right)$

由于相互独立，$\mathbf {x}$的概率为：

$p(\mathbf {x} ;A)=\prod _{n=0}^{N-1}p(x[n];A)={\frac {1}{\left(\sigma {\sqrt {2\pi }}\right)^{N}}}\exp \left(-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\sum _{n=0}^{N-1}(x[n]-A)^{2}\right)$

对上式取自然对数：

$\ln p(\mathbf {x} ;A)=-N\ln \left(\sigma {\sqrt {2\pi }}\right)-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\sum _{n=0}^{N-1}(x[n]-A)^{2}$

于是最大似然估计器为：

${\hat {A}}=\arg \max \ln p(\mathbf {x} ;A)$

计算对数-最大似然函数的一阶导数：

${\frac {\partial }{\partial A}}\ln p(\mathbf {x} ;A)={\frac {1}{\sigma ^{2}}}\left[\sum _{n=0}^{N-1}(x[n]-A)\right]={\frac {1}{\sigma ^{2}}}\left[\sum _{n=0}^{N-1}x[n]-NA\right]$

令其为0：

$0={\frac {1}{\sigma ^{2}}}\left[\sum _{n=0}^{N-1}x[n]-NA\right]=\sum _{n=0}^{N-1}x[n]-NA$

得到最大似然估计器：

${\hat {A}}={\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}x[n]$

它是一个简单的采样平均。从这个例子中可以发现，被独立同分布的加性高斯白噪声污染的、由未知常数构成的$N$点信号的最大似然估计其就是采样平均。

Cramér-Rao下限

为了找到采样平均估计器的Cramér-Rao下限（CRLB），需要找到Fisher information数

${\mathcal {I}}(A)=\mathrm {E} \left(\left[{\frac {\partial }{\partial \theta }}\ln p(\mathbf {x} ;A)\right]^{2}\right)=-\mathrm {E} \left[{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}\ln p(\mathbf {x} ;A)\right]$

从上面得到

${\frac {\partial }{\partial A}}\ln p(\mathbf {x} ;A)={\frac {1}{\sigma ^{2}}}\left[\sum _{n=0}^{N-1}x[n]-NA\right]$

取二阶导数

${\frac {\partial ^{2}}{\partial A^{2}}}\ln p(\mathbf {x} ;A)={\frac {1}{\sigma ^{2}}}(-N)={\frac {-N}{\sigma ^{2}}}$

发现负的期望值是无关紧要的（trivial），因为它现在是一个确定的常数

$-\mathrm {E} \left[{\frac {\partial ^{2}}{\partial A^{2}}}\ln p(\mathbf {x} ;A)\right]={\frac {N}{\sigma ^{2}}}$

最后，将Fisher information代入

$\mathrm {var} \left({\hat {A}}\right)\geq {\frac {1}{\mathcal {I}}}$

得到

$\mathrm {var} \left({\hat {A}}\right)\geq {\frac {\sigma ^{2}}{N}}$

将这个值与前面确定的采样平均的变化比较显示对于所有的$N$和$A$来说采样平均都是等于Cramér-Rao下限。

采样平均除了是最大似然估计器之外还是最小变化无偏估计器（MVUE）。

这个直流增益 + WGN的例子是Kay的统计信号处理基础中一个例子的再现。

相关书籍

• Fundamentals of Statistical Signal Processing: Estimation Theory by Steven M. Kay (ISBN 0-13-345711-7)
• An Introduction to Signal Detection and Estimation by H. Vincent Poor (ISBN 0-38-794173-8)
• Detection, Estimation, and Modulation Theory, Part 1 by Harry L. Van Trees (ISBN 0-47-109517-6; website)

参见

• 偏差
• 检测理论
• 信息论
• 最大似然估计
• 矩方法
• 最小均方差（MMSE）
• 最大后验概率（MAP）
• 卡尔曼滤波
• 维纳滤波
• 最小平方頻譜分析法（LSSA）