可测函数

可测函数（英語：measurable function）是保持可测空间結構的函数，也是勒貝格積分中主要討論的函數。

正式定義

可測函數的定義 — 設 $(X,\Sigma _{X})$ 與 $(Y,\Sigma _{Y})$ 為可测空间。那函数 $f:X\to Y$ 對任意 $B\in \Sigma _{Y}$ 若滿足：

$f^{-1}(B)\in \Sigma _{X}$

則稱 $f$ 為一個 $\Sigma _{X}$ - $\Sigma _{Y}$ 可測函數。

重要範例

實可測函數

取本節定義中的 $Y$ 為实数系 $\mathbb {R}$ ，然後取：

${\mathcal {I}}={\bigg \{}A\in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} )\,{\bigg |}\,(\exists a)(\exists b)\left[\,(a,\,b\in \mathbb {R} )\wedge (A=(a,\,b))\,\right]{\bigg \}}$

${\mathcal {B}}_{\mathbb {R} }:=\sigma ({\mathcal {I}})=\bigcap {\bigg \{}\Sigma \,{\bigg |}\,(\Sigma {\text{ is a sigma algebra.}})\wedge ({\mathcal {I}}\subseteq \Sigma ){\bigg \}}$

換句話說，${\mathcal {B}}_{\mathbb {R} }$ 是由實數開區間所生成的博雷爾代數（注意到 ${\mathcal {I}}$ 本身是個拓扑基），那麼這樣的$\Sigma _{X}$ - ${\mathcal {B}}_{\mathbb {R} }$ 可測函數 $f$ ，通常會簡稱為 $\Sigma _{X}$ - 實可測函數；甚至簡稱為實可測函數。概率论裡的随机变量就是實可測函數。

博雷爾函数

如果$(X,\tau _{X})$ 與 $(Y,\tau _{Y})$ 正好也是拓撲空間，這時取以下兩個最小σ-代数：

$\sigma (\tau _{X})=\bigcap {\bigg \{}\Sigma \,{\bigg |}\,(\Sigma {\text{ is a sigma algebra.}})\wedge (\tau _{X}\subseteq \Sigma ){\bigg \}}$

$\sigma (\tau _{Y})=\bigcap {\bigg \{}\Sigma \,{\bigg |}\,(\Sigma {\text{ is a sigma algebra.}})\wedge (\tau _{Y}\subseteq \Sigma ){\bigg \}}$

換句話說，$\sigma (\tau _{X})$ 是由 $X$ 上开集所生成的博雷爾代數；$\sigma (\tau _{Y})$ 是由 $Y$ 上开集所生成的博雷爾代數，那這樣 $\sigma (\tau _{X})$ - $\sigma (\tau _{X})$ 可测函数 $f$ 又称为 $\tau _{X}$ - $\tau _{Y}$ 博雷爾函数（Borel function）。

根據拓撲空間连续函數的定義， $\tau _{X}$ - $\tau _{Y}$ 博雷爾函数必定 $\tau _{X}$ - $\tau _{Y}$ 連續，但反之不成立，原因可見下面可测函数的性质的定理(2)。

可测函数的性质

定理(1) — 設 $(X,\Sigma _{X})$ 為可测空间， $Y$ 為一集合，且有函数 $f:X\to Y$ 。那

$\Sigma =\left\{B\in {\mathcal {P}}(Y)\,{\big |}\,f^{-1}(B)\in \Sigma _{X}\right\}$

為 $Y$ 的σ代數。

證明

以下將逐條檢驗 $\Sigma$ 是否符合σ代數的定義 (1) $Y\in \Sigma$ 因為： $f^{-1}(Y)=\left\{x\in X\,|\,(\exists y\in Y)\left[f(x)=y\right]\right\}=X\in \Sigma _{X}$ 所以 $Y\in \Sigma$。 (2) $B\in \Sigma$ ，則 $Y-B\in \Sigma$ 若 $B\in \Sigma$ ，因為： $f^{-1}(Y-B)={\big \{}x\in X\,|\,(\exists y)\left\{(y\in Y)\wedge (y\notin B)\wedge [f(x)=y]\right\}{\big \}}=X-f^{-1}(B)\in \Sigma _{X}$ 所以 $Y-B\in \Sigma$ 。 (3)可數個并集仍在 $\Sigma$ 中 若 $\{B_{1},\,B_{2},\,\dots \}\subseteq \Sigma$ ，那因為： $f^{-1}\left(\bigcup \{B_{1},\,B_{2},\,\dots \}\right)={\big \{}x\in X\,{\big |}\,(\exists y)\left\{[f(x)=y]\wedge (\exists i\in N)(y\in B_{i})\right\}{\big \}}=\bigcup \{f^{-1}(B_{1}),\,f^{-1}(B_{2}),\,\dots \}\in \Sigma _{X}$ 所以 $\bigcup \{B_{1},\,B_{2},\,\dots \}\in \Sigma$ 。 綜上所述， $\Sigma$ 的確是$Y$ 的σ代數。$\Box$

定理(2) — $(X,\Sigma _{X})$ 為可测空间 ，${\mathcal {F}}_{Y}\subseteq {\mathcal {P}}(Y)$ 是集合 $Y$ 的一個子集族 ，那對函数 $f:X\to Y$ 來說，以下兩敘述等價：

1. 對所有 $B\in {\mathcal {F}}_{Y}$ 有 $f^{-1}(B)\in \Sigma _{X}$
2. $f$ 是 $\Sigma _{X}$ - $\sigma ({\mathcal {F}}_{Y})$ 可測函數

證明

(1 $\Rightarrow$ 2) 若對所有 $B\in {\mathcal {F}}_{Y}$ 都有： $f^{-1}(B)\in \Sigma _{X}$ 換句話說： ${\mathcal {F}}_{Y}\subseteq \left\{B\in {\mathcal {P}}(Y)\,{\big |}\,f^{-1}(B)\in \Sigma _{X}\right\}$ 那根據本節之定理(1)和最小σ代数 $\sigma ({\mathcal {F}}_{Y})$ 的定義有： $\sigma ({\mathcal {F}}_{Y})\subseteq \left\{B\in {\mathcal {P}}(Y)\,{\big |}\,f^{-1}(B)\in \Sigma _{X}\right\}$ 換句話說，只要 $B\in \sigma ({\mathcal {F}}_{Y})$ 就有 $f^{-1}(B)\in \Sigma _{X}$，故 $f$ 是 $\Sigma _{X}$ - $\sigma ({\mathcal {F}}_{Y})$ 可測函數。$\Box$ (2 $\Rightarrow$ 1) 若對所有$B\in \sigma ({\mathcal {F}}_{Y})$ 都有 $f^{-1}(B)\in \Sigma _{X}$，換句話說： ${\mathcal {F}}_{Y}\subseteq \sigma ({\mathcal {F}}_{Y})\subseteq \left\{B\in {\mathcal {P}}(Y)\,{\big |}\,f^{-1}(B)\in \Sigma _{X}\right\}$ 這樣的話，的確可以從 $B\in {\mathcal {F}}_{Y}$ 推出 $f^{-1}(B)\in \Sigma _{X}$ 。$\Box$

定理(3) — 設 $(X,\Sigma _{X})$為可测空间，$(Y,\tau _{Y})$ 與 $(Z,\tau _{Z})$ 為拓扑空间，若：

• $f:X\to Y$ 為 $\Sigma _{X}$- $\sigma (\tau _{Y})$可測函數
• $g:Y\to Z$ 為 $\tau _{Y}$ - $\tau _{Z}$ 连续函數

則复合函数 $g\circ f$ 為 $\Sigma _{X}$- $\sigma (\tau _{Z})$可測函數。

證明
根據定理(2)， $g\circ f$ 為 $\Sigma _{X}$- $\sigma (\tau _{Z})$可測函數等價於： 「對所有的 $C\in \tau _{Z}$ ， ${(g\circ f)}^{-1}(C)=f^{-1}[g^{-1}(C)]\in \Sigma _{X}$」 但因為$g$ 為 $\tau _{Y}$ - $\tau _{Z}$ 连续函數，故： 「對所有的 $C\in \tau _{Z}$ ， $g^{-1}(C)\in \tau _{Y}\subseteq \sigma (\tau _{Y})$」 但 $f$ 又為 $\Sigma _{X}$- $\sigma (\tau _{Y})$可測函數，故可以得到 $f^{-1}[g^{-1}(C)]\in \Sigma _{X}$ ，所以本定理得証。$\Box$

• 两个可测的实函数的和与积也是可测的。
• 可数个實可测函数的最小上界也是可测的。
• 可测函数的逐点极限是可测的。（连续函数的对应命题需要比逐点收敛更强的条件，例如一致收敛。）
• 卢辛定理

勒贝格可测函数

勒贝格可测函数是一个实函数f : R → R，使得对于每一个实数a，集合

$\{x\in \mathbb {R} :f(x)>a\}$

都是勒贝格可测的集合。勒贝格可测函数的一个有用的特征，是f是可测的当且仅当mid{-g,f,g}对于所有非负的勒贝格可积函数g都是可积的。

不可测函数

不是所有的函数都是可测的。例如，如果$A$是实数轴$\mathbb {R}$的一个不可测子集，那么它的指示函数$1_{A}(x)$是不可测的。

参见

• 可测函数的向量空间：$L^{p}$空间
• 保测动态系统