在數學 中的環論 領域，一個理想 的根 是一個較大的理想，它約略是該理想的某種閉包。根理想 是等於其自身的根的理想。
理想的根又可分為雅各布森根 與冪零根 ，前者較後者為大。
設
R
{\displaystyle R}
交換環 ，
I
⊂
R
{\displaystyle I\subset R}
R
a
d
(
I
)
{\displaystyle \mathrm {Rad} (I)}
I
{\displaystyle {\sqrt {I}}}
Rad
(
I
)
=
{
r
∈
R
|
∃
n
,
r
n
∈
I
}
{\displaystyle {\hbox{Rad}}(I)=\{r\in R|\exists n,\;r^{n}\in I\ \}}
由二項式定理 可知
R
a
d
(
I
)
{\displaystyle \mathrm {Rad} (I)}
I
{\displaystyle I}
I
=
{
0
}
{\displaystyle I=\{0\}}
n
i
l
(
R
)
{\displaystyle \mathrm {nil} (R)}
π
:
R
→
R
/
I
{\displaystyle \pi :R\to R/I}
Rad
(
I
)
=
π
−
1
(
nil
(
R
/
I
)
)
{\displaystyle {\hbox{Rad}}(I)=\pi ^{-1}({\hbox{nil}}(R/I))}
利用局部化 技巧，也可證明
Rad
(
I
)
=
⋂
{
P
∈
Spec
(
R
)
:
P
⊃
I
}
{\displaystyle {\hbox{Rad}}(I)=\bigcap \{P\in {\hbox{Spec}}(R):P\supset I\}}
為具體起見，考慮較簡單的例子
R
=
Z
{\displaystyle R=\mathbb {Z} }
I
=
(
∏
i
p
i
e
i
)
{\displaystyle I=(\prod _{i}p_{i}^{e_{i}})}
p
1
,
p
2
,
…
{\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots }
素數 ，
e
i
{\displaystyle e_{i}}
I
=
(
∏
e
i
>
0
p
i
)
{\displaystyle {\sqrt {I}}=(\prod _{e_{i}>0}p_{i})}
設
R
{\displaystyle R}
J
(
R
)
{\displaystyle J(R)}
R
{\displaystyle R}
零化子 之交。對於雙邊理想
I
⊂
R
{\displaystyle I\subset R}
π
:
R
→
R
/
I
{\displaystyle \pi :R\to R/I}
J
(
I
)
:=
π
−
1
(
J
(
R
/
I
)
)
{\displaystyle J(I):=\pi ^{-1}(J(R/I))}
雅各布森根還有諸種等價的定義。當
R
{\displaystyle R}
Rad
(
I
)
=
⋂
{
P
∈
Spec-max
(
R
)
:
P
⊃
I
}
{\displaystyle {\hbox{Rad}}(I)=\bigcap \{P\in {\hbox{Spec-max}}(R):P\supset I\}}
換言之，此即所有包含
I
{\displaystyle I}
極大理想 之交。由此立見
J
(
I
)
⊃
Rad
(
I
)
{\displaystyle J(I)\supset {\hbox{Rad}}(I)}
David Eisenbud, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry , Graduate Texts in Mathematics, 150, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94268-8 . 
