餘代數

在數學中，餘代數是帶單位元的結合代數的對偶結構，後者的公理由一系列交換圖給出，將這些圖中的箭頭反轉，便得到餘代數的公理。

餘代數的概念可用於李群及群概形等領域中。

定義

形式上來說，域 $K$ 上的餘代數是一個 $K$ -向量空間 $C$ 及 $K$ -線性映射 $\Delta :C\to C\otimes _{K}C$ （餘乘法）與 $\epsilon :C\to K$ （餘單位元），使得：

$(\mathrm {id} _{C}\otimes \Delta )\circ \Delta =(\Delta \otimes \mathrm {id} _{C})\circ \Delta$
$(\mathrm {id} _{C}\otimes \epsilon )\circ \Delta =\mathrm {id} _{C}=(\epsilon \otimes \mathrm {id} _{C})\circ \Delta$ .

等價的說法是：以下圖表交換：

在第一個圖表中，我們等同了 $C\otimes (C\otimes C)$ 與 $(C\otimes C)\otimes C$ ；同理，在第二個圖表中，我們等同了 $C$ 、 $C\otimes K$ 與 $K\otimes C$ 。

第一個圖表是代數乘法結合律的對偶版本，稱為餘乘法之餘結合律。第二個圖表是代數單位元的對偶版本。

處理餘代數時，以下記法可以大大地簡化式子，稱為 Sweedler 記法。這套記法在數學界中頗為流行。給定餘代數 $(C,\Delta ,\epsilon )$ 中的一個元素 $c$ ，存在一族元素 $c_{(1)}^{i},c_{(2)}^{i}\in C$ ，使得

\Delta (c)=\sum _{i}c_{(1)}^{(i)}\otimes c_{(2)}^{(i)}.

在 Sweedler 記法中，上式寫作

\Delta (c)=\sum _{(c)}c_{(1)}\otimes c_{(2)}.

舉例明之，餘單位元 $\epsilon$ 之公理可表成

c=\sum _{(c)}\epsilon (c_{(1)})c_{(2)}=\sum _{(c)}c_{(1)}\epsilon (c_{(2)}).\;

餘乘法 $\Delta$ 則可表成

\sum _{(c)}c_{(1)}\otimes \left(\sum _{(c_{(2)})}(c_{(2)})_{(1)}\otimes (c_{(2)})_{(2)}\right)=\sum _{(c)}\left(\sum _{(c_{(1)})}(c_{(1)})_{(1)}\otimes (c_{(1)})_{(2)}\right)\otimes c_{(2)}.

在 Sweedler 記法中，這些式子都被寫作

\sum _{(c)}c_{(1)}\otimes c_{(2)}\otimes c_{(3)}.

一些作者會省略求和符號，此時 Sweedler 記法表成

\Delta (c)=c_{(1)}\otimes c_{(2)}

與

c=\epsilon (c_{(1)})c_{(2)}=c_{(1)}\epsilon (c_{(2)}).\;