特徵多項式

在線性代數中，對一個線性自同態（取定基即等價於方陣）可定義其特徵多項式，此多項式包含該自同態的一些重要性質，例如行列式、跡數及特徵值。

定義

設 $\mathbb {F}$ 為域（例如實數或複數域），對佈於 $\mathbb {F}$ 上的 $n\times n$ 矩陣 $A$ ，定義其特徵多項式為

p_{A}(t):=\det(tI_{n}-A)\in \mathbb {F} [t]

這是一個 $n$ 次多項式，其首項係數為一。

一般而言，對佈於任何交換環上的方陣都能定義特徵多項式。

性質

當 $A$ 為上三角矩陣（或下三角矩陣）時， $p_{A}(t)=\prod _{i=1}^{n}(t-\lambda _{i})$ ，其中 $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}$ 是主對角線上的元素。

對於二階方陣，特徵多項式能表為 $p_{A}(t)=t^{2}-\mathrm {tr} (A)t+\det(A)$ 。一般而言，若 $p_{A}(t)=t^{n}+a_{n-1}t^{n-1}+\ldots +a_{0}$ ，則 $a_{0}=(-1)^{n}\det(A)$ ， $a_{n-1}=-\mathrm {tr} (A)$ 。

此外：

特徵多項式在基變更下不變：若存在可逆方陣 $C$ 使得 $B=C^{-1}AC$ ，則 $p_{A}(t)=p_{B}(t)$ 。
對任意兩方陣 $A,B$ ，有 $p_{AB}(t)=p_{BA}(t)$ 。一般而言，若 $A$ 為 $m\times n$ 矩陣， $B$ 為 $n\times m$ 矩陣（設 $m<n$ ），則 $p_{AB}(t)=t^{m-n}p_{BA}(t)$
凱萊-哈密頓定理： $p_{A}(A)=0$ 。